Question

過(guò)點(diǎn)作已知直線的平行線，交雙曲線于點(diǎn).
（1）證明：點(diǎn)是線段的中點(diǎn).
（2）分別過(guò)點(diǎn)作雙曲線的切線，證明：三條直線相交于同一點(diǎn).
（3）設(shè)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的切線，切點(diǎn)分別為.證明：點(diǎn)在直線AB上.

Answer 1

證明略

（1）直線的方程為，即，代入雙曲線方程，得 .
設(shè)，則是方程的兩根，所以，
于是，故點(diǎn)是線段的中點(diǎn). ………5分
（2）雙曲線的過(guò)點(diǎn)的切線方程分別為
，.
聯(lián)立，得兩式相加，并將，代入，得，這說(shuō)明直線的交點(diǎn)在直線上，即三條直線相交于同一點(diǎn).                                             …………………………10分
（3）設(shè)，，則的方程分別為和，因?yàn)辄c(diǎn)在兩條直線上，所以，，這表明點(diǎn)都在直線上，即直線的方程為.
又，代入整理得，顯然，無(wú)論取什么值（即無(wú)論為直線上哪一點(diǎn)），點(diǎn)都在直線AB上. …………………………20分