Question

【題目】2017年是某市大力推進居民生活垃圾分類的關鍵一年，有關部門為宣傳垃圾分類知識，面向該市市民進行了一次“垃圾分類知識”的網絡問卷調查，每位市民僅有一次參與機會，通過抽樣，得到參與問卷調查中的1000人的得分數據，其頻率分布直方圖如圖所示：

（1）估計該組數據的中位數、眾數；

（2）由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調查的得分服從正態分布， 近似為這1000人得分的平均值（同一組數據用該區間的中點值作代表），利用該正態分布，求；

（3）在（2）的條件下，有關部門為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案：

（ⅰ）得分不低于可獲贈2次隨機話費，得分低于則只有1次；

（ⅱ）每次贈送的隨機話費和對應概率如下：

現有一位市民要參加此次問卷調查，記 (單位：元）為該市民參加問卷調查獲贈的話費，求的分布列和數學期望.

附： ，

若，則， .

Answer 1

【答案】（1）中位數為，眾數為65.（2）（3），分布列見解析

【解析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖可估計該組數據的中位數、眾數；

（2）利用加權平均數公式計算平均值；再根據正態分布的性質求；

（3）設得分不低于分的概率為，則，則的取值為10，20，30，40，利用相互獨立事件的概率公式計算各個概率，得到的分布列和數學期望.．

試題解析：（1）由 ，得，設中位數為，由 ，解得，由頻率分布直方圖可知眾數為65.

（2）從這1000人問卷調查得到的平均值為

因為由于得分服從正態分布，

所以 .

（3）設得分不低于分的概率為，則，

的取值為10，20，30，40，

， ，

， ，

所以的分布列為：

所以.