Question

【題目】已知拋物線C的頂點(diǎn)為O（0，0），焦點(diǎn)F（0，1）

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）過F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)．若直線OA、OB分別交直線l：y=x﹣2于M、N兩點(diǎn)，求|MN|的最小值．

Answer 1

【答案】（1）x2=4y

（2）當(dāng)t=﹣時(shí)，|MN|的最小值是

【解析】（I）由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2=2py（p＞0）則=1，解得p=2，故拋物線C的方程為x2=4y

（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y=kx+1

由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0

所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，從而有|x1﹣x2|==4

由解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為xM===，

同理可得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為xN=

所以|MN|=|xM﹣xN|=|﹣|=8||=

令4k﹣3=t，t不為0，則k=

當(dāng)t＞0時(shí)，|MN|=2＞2

當(dāng)t＜0時(shí)，|MN|=2=2≥

綜上所述，當(dāng)t=﹣時(shí)，|MN|的最小值是