Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2ax（a＞0）．
（1）當a=2時，解關于x的不等式﹣3＜f（x）＜5；
（2）對于給定的正數a，有一個最大的正數M（a），使得在整個區間[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立．求出M（a）的解析式；
（3）函數y=f（x）在[t，t+2]的最大值為0，最小值是﹣4，求實數a和t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=2時，函數f（x）=x2﹣4x，

∴不等式﹣3＜f（x）＜5可化為﹣3＜x2﹣4x＜5，

解得 ，

∴不等式的解集為（﹣1，1）∪（3，5）

（2）解：∵a＞0時，f（x）=x2﹣2ax=（x﹣a）2﹣a2，

∴當﹣a2＜﹣5，即a＞ 時，

要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，

要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax=﹣5的較小的根，

即M（a）=a﹣ ；

當﹣a2≥﹣5，即0＜a≤ 時，

要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，

要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax=5的較大的根，

即M（a）=a+ ；

綜上，M（a）=

（3）解：f（x）=（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），顯然f（0）=f（2a）=0．

①若t=0，則a≥t+1，且f（x）min=f（a）=﹣4，或f（x）min=f（2）=﹣4，

當f（a）=﹣a2=﹣4時，a=±2，a=﹣2不合題意，舍去

當f（2）=4﹣4a=﹣4時，a=2，

②若t+2=2a，則a≤t+1，且f（x）min=f（a）=﹣4，或f（x）min=f（2a﹣2）=﹣4，

當f（a）=﹣a2=﹣4時，a=±2，若a=2，t=2，符合題意；

若a=﹣2，則與題設矛盾，不合題意，舍去

當f（2a﹣2）=﹣4時，a=2，t=2

綜上所述，a=2，t=0和a=2，t=2符合題意

【解析】（1）a=2時，把不等式﹣3＜f（x）＜5化為不等式組﹣3＜x2﹣4x＜5，求出解集即可；（2）由二次函數的圖象與性質，討論a＞0時|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立時，M（a）最大，此時對應的方程f（x）=±5根的情況，從而求出M（a）的解析式；（3）f（x）=（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），顯然f（0）=f（2a）=0，分類討論，利用y=f（x）在[t，t+2]的最大值為0，最小值是﹣4，求實數a和t的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．