Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別是AB，BC的中點．將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于P．

（1）求證：平面PBD⊥平面BFDE；
（2）求二面角P﹣DE﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，EF∥AC，BD⊥AC，EF⊥BD，

∵點E，F分別是AB，BC的中點．將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于P．

∴PD⊥PF，PD⊥PE，

∵PE∩PF=P，PE、PF平面PEF．

∴PD⊥平面PEF．

又∵EF平面PEF，

∴PD⊥EF，又BD∩PD=D，

∴EF⊥平面PBD，

又EF平面BFDE，∴平面PBD⊥平面BFDE

（2）解：連結BD、EF，交于點O，以O為原點，OF為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，

設在正方形ABCD的邊長為2，則DO= ， = ，PE=PF=1，PO= = ，

∴P（0，0， ），D（0， ，0），E（﹣ ，0，0），F（ ，0，0），

=（﹣ ，﹣ ，0）， =（0，﹣ ， ）， =（ ，﹣ ，0），

設平面PDE的法向量 =（x，y，z），

則 ，取y=1，則 =（﹣3， ，3），

平面DEF的法向量 =（0，0，1），

設二面角P﹣DE﹣F的平面角為θ，

則cosθ= = = ．

∴二面角P﹣DE﹣F的余弦值為 ．

【解析】（1）推導出PD⊥PF，PD⊥PE，則PD⊥平面PEF，由此能證明平面PBD⊥平面BFDE．（2）連結BD、EF，交于點O，以O為原點，OF為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，由此能求出二面角P﹣DE﹣F的余弦值．