Question

【題目】已知函數f(x)＝x3－x2＋cx＋d有極值．

(1)求實數c的取值范圍；

(2)若f(x)在x＝2處取得極值，且當x＜0時，f(x)＜d2＋2d恒成立，求實數d的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）(－∞，－7)∪(1，＋∞).

【解析】

(1)求出導函數的解析式，然后根據函數有極值，方程有兩個實數解,構造關于的不等式，解不等式即可得到的取值范圍；（2）若在處取得極值，則，求出滿足條件的值后，可以分析出函數的單調性，進而分析出當時，函數的最大值,又由當時，恒成立，可以構造出一個關于的不等式，解不等式即可得到的取值范圍.

(1)∵f(x)＝x3－x2＋cx＋d，∴f′(x)＝x2－x＋c，

要使f(x)有極值，則方程f′(x)＝x2－x＋c＝0有兩個不相等的實數解，

從而Δ＝1－4c＞0，∴c＜, 即實數c的取值范圍為.

(2)∵f(x)在x＝2處取得極值，

∴f′(2)＝4－2＋c＝0，∴c＝－2,∴f(x)＝x3－x2－2x＋d.

∵f′(x)＝x2－x－2＝(x－2)(x＋1)，

∴當x∈(－∞，－1]時，f′(x)＞0，函數單調遞增；

當x∈(－1,2]時，f′(x)＜0，函數單調遞減．

∴x＜0時，f(x)在x＝－1處取得最大值＋d，

∵x＜0時，f(x)＜d2＋2d恒成立，∴＋d＜d2＋2d，即(d＋7)(d－1)＞0，∴d＜－7或d＞1，

即實數d的取值范圍是(－∞，－7)∪(1，＋∞).