Question

【題目】若定義在上的函數(shù)滿足：對任意的，當時，都有，則稱是“非減函數(shù)”.

（1）若是“非減函數(shù)”，求的取值范圍；

（2）若為周期函數(shù)，且為“非減函數(shù)”，證明是常值函數(shù)；

（3）設(shè)恒大于零，是定義在R上、恒大于零的周期函數(shù)，是的最大值。函數(shù)。證明：“是周期函數(shù)”的充要條件“是常值函數(shù)”.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）直接由求得的取值范圍；

（2）用反正法證明，如果函數(shù)不是常函數(shù)，即函數(shù)可能是單調(diào)遞增函數(shù)、或者部分單調(diào)遞增部分常值。利用函數(shù)的周期性和不遞減的性質(zhì)，即可證明結(jié)論與假設(shè)矛盾，即假設(shè)不成立，是常值函數(shù)。

（3）首先證明充分性，是很顯然的，的周期性與一樣。然后再證明必要性，利用（2）的結(jié)論即可得證。

（1）由得，

，得。

故的取值范圍是

（2）假設(shè)不是常值函數(shù)，并且周期為。令，且存在一個使得。由于的性質(zhì)可知，，且。

因為為周期函數(shù)，所以，這與前面的結(jié)論矛盾，所以假設(shè)不成立，即是常值函數(shù)

（3）充分性證明：當是常值函數(shù)時，令，即，因為是周期函數(shù)，所以也是周期函數(shù)。

必要性證明：當是周期函數(shù)時，令周期為，即，則，又因為是周期函數(shù)，所以，即可得到，所以是周期函數(shù)，由（2）的結(jié)論可知，是常值函數(shù)。

綜上所述，是周期函數(shù)的充要條件是是常值函數(shù)。