Question

【題目】已知定義在（﹣1，1）上的函數f（x）滿足：對任意x，y∈（﹣1，1）都有f（x）+f（y）=f（x+y）．
（Ⅰ）求證：函數f（x）是奇函數；
（Ⅱ）如果當x∈（﹣1，0]時，有f（x）＜0，試判斷f（x）在（﹣1，1）上的單調性，并用定義證明你的判斷；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若a﹣8x+1＞0對滿足不等式f（x﹣ ）+f（ ﹣2x）＜0的任意x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題可知，函數y=f（x）的定義域為（﹣1，1），關于原點對稱；對于f（x）+f（y）=f（x+y）．
令y=x=0，可得2f（0）=f（0），從而f（0）=0，
再令y=﹣x，可得f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），
所以y=f（x）為（﹣1，1）上的奇函數；
（Ⅱ）y=f（x）為（﹣1，1）上單調遞增，
證明如下：
設x1、x2為區間（﹣1，0]上的任意兩個自變量的值，且x1＜x2 ，
則f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=f（x1﹣x2）；
由于﹣1＜x1＜x2＜0，所以﹣1＜x1﹣x2≤0，從而f（x1﹣x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），所以y=f（x）為（﹣1，0]上單調遞增，
又由于y=f（x）為（﹣1，1）上的奇函數；
由奇函數的性質分析可得：y=f（x）為[0，1）上單調遞增，
故y=f（x）為（﹣1，1）上單調遞增，
（Ⅲ）根據題意，若f（x﹣ ）+f（ ﹣2x）＜0，
則有f（x﹣ ）＜f（2x﹣ ），
則必有 ，
解可得﹣ ＜x＜ ，
所以原問題等價于a﹣8x+1＞0對于﹣ ＜x＜ 恒成立，
則必有a≥[8×（ ）﹣1]=4，即a≥4；
故a的取值范圍是[4，+∞）
【解析】（Ⅰ）根據題意，先分析函數的定義域，可得其定義域關于原點對稱，進而令y=x=0，可得f（0）=0，再令y=﹣x，分析可得f（﹣x）=﹣f（x），即可得答案；（Ⅱ）分析可得：y=f（x）為（﹣1，1）上單調遞增，進而證明：先用定義法證明可得y=f（x）為（﹣1，0]上單調遞增，進而結合函數的奇偶性可得y=f（x）為（﹣1，0]上單調遞增，綜合可得答案；（Ⅲ）根據題意，由函數的奇偶性以及單調性可得：若f（x﹣ ）+f（ ﹣2x）＜0，則必有 ，解可得x的范圍，所以原問題等價于a﹣8x+1＞0對于﹣ ＜x＜ 恒成立，分析可得a的取值范圍，即可得答案．
【考點精析】利用函數奇偶性的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．