Question

已知在△ABC中，C=2B，A≠B，求證：C²=b（a+b ）．

Answer 1

分析：先利用正弦定理把邊轉化成角正弦，代入C²-b（a+b ）利用和差化積和積化和差公式對其進行化簡整理，利用C=2B判斷出sin（C-B）-sinB=0證明C²=b（a+b ）．

解答：解：由正弦定理可知c=sinC2R，b=2RsinB，c=2RsinC
∴C²-b（a+b ）=4R²（sin²C-sinBsinA-sin²B）
=4R²[（sinC+sinB）（sinC-sinB）-sinBsinA]
=4R²[sin（B+C）sin（C-B）-sinBsinA]
=4R²sinA[sin（C-B）-sinB]
∵C=2B
∴sin（C-B）=sinB
∴4R²sinA[sin（C-B）-sinB]=0
∴C²-b（a+b ）=0，C²=b（a+b ）．
原式得證．

點評：本題主要考查了正弦定理的應用．考查了用正弦定理來對三角形問題中邊角互化方法的應用．