Question

【題目】已知函數.

（1）若在，處取得極值.

①求、的值；

②若存在，使得不等式成立，求的最小值；

（2）當時，若在上是單調函數，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】試題分析：（1）①先求 ，根據函數在處取得極值，則，代入可求得的值；

②轉化為，從而求函數在區間上的最小值，從而求得的值；

（2）當時，，①當時，符合題意；

②當時，分討論在上正負，以確定函數的單調性的條件，進而求出的取值范圍．

試題解析：

（1）①∵，∴，

∵在，處取得極值，∴，，

即解得，∴所求、的值分別為.
②在存在，使得不等式成立，只需，由，∴當時，，故在是單調遞減；當時，，故在是單調遞增；當時，，故在是單調遞減；∴是在上的極小值，，且，又，∴，∴，∴，∴的取值范圍為，所以的最小值為.
（2）當時，，
①當時，，則在上單調遞增；
②當時，∵，∴，∴，則在上單調遞增；
③當時，設，只需，從而得，此時在上單調遞減；
綜上得，的取值范圍是