Question

求同時滿足下列兩個條件的復數Z；
（1）Z+

10

Z

是實數，且1＜Z+

10

Z

≤6；
（2）且Z的實部和虛部均為整數，且虛部不為零．

Answer 1

考點：復數的代數表示法及其幾何意義,復數代數形式的乘除運算

專題：數系的擴充和復數

分析：設Z=a+bi（a，b∈R），可得Z+

10

Z

=a+

10

a2+b2

a+(b-

10b

a2+b2

)i，由于Z+

10

Z

是實數，且1＜Z+

10

Z

≤6；且Z的實部和虛部均為整數，且虛部不為零．可得b-

10b

a2+b2

=0，1＜a+

10a

a2+b2

≤6，b≠0，a，b∈Z．解出即可．

解答： 解：設Z=a+bi（a，b∈R），則Z+

10

Z

=a+bi+

10

a+bi

=a+bi+

10(a-bi)

(a+bi)(a-bi)

=a+

10

a2+b2

a+(b-

10b

a2+b2

)i，
∵Z+

10

Z

是實數，且1＜Z+

10

Z

≤6；且Z的實部和虛部均為整數，且虛部不為零．
∴b-

10b

a2+b2

=0，1＜a+

10a

a2+b2

≤6，b≠0，a，b∈Z．
解得

a=1 b=±3

或

a=3 b=±1

．
∴Z=1±3i或Z=3±i．

點評：本題考查了復數的運算法則、幾何意義、不等式的解法，考查了計算能力與推理能力，屬于基礎題．