Question

問題：自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生的資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力和捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響，用x_n表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N₊,且x₁＞0,不考慮其他因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及被捕撈量都與x_n成正比，死亡量與x²_n成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a,b,c.

    設(shè)a=2,c=1,為保證對(duì)任意x₁∈(0,2),都有x_n＞0,n∈N₊,則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論.

Answer 1

導(dǎo)思：理順清楚數(shù)量間的關(guān)系，用數(shù)學(xué)歸納法證明.

探究：從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為ax_n，被捕撈量為bx_n，死亡量為cx²_n,因此，x_n+1-x_n=ax_n-bx_n-cx²_n,n∈N₊.(*)

即x_n+1=x_n(a-b+1-cx_n),n∈N₊.(**)

若b的值使得x_n＞0,n∈N₊.

由x_n+1=x_n(3-b-x_n),n∈N₊.知0＜x_n＜3-b,n∈N₊.特別地，有0＜x₁＜3-b.即0＜b＜3-x₁.

而x₁∈(0,2)，所以b∈（0,1］.

    由此猜測(cè)b的最大允許值是1.

下證當(dāng)x₁∈(0,2),b=1時(shí)，都有x_n∈(0,2),n∈N₊.

①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即x_k∈(0,2).

則當(dāng)n=k+1時(shí),x_k+1=x_k(2-x_k)＞0.

    又因?yàn)閤_k+1=x_k(2-x_k)=-(x_k-1)²+1≤1＜2,

所以x_k+1∈(0,2).故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.

    由①②可知，對(duì)于任意n∈N₊,都有x_n∈(0,2).

    綜上所述，為保證對(duì)任意x₁∈(0,2),都有x_n＞0,n∈N₊,則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1.