Question

（2012•寧德模擬）已知角α的頂點與直角坐標系原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點P，且α∈[0，π）．
（1）若點P的坐標是(-3m，4m)，求cos(α-

π

3

)的值；
（2）設點M的坐標是(

1

2

，

3

2

)，求使得函數f(a)=

OM

•

MP

-k的恰有兩個零點的實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知及三角函數定義求出tanα的值小于0，再由α的范圍，確定出sinα和cosα的值，把所求式子利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡后，把sinα和cosα的值代入即可求出值；
（2）由M與P的坐標，表示出兩向量，利用平面向量的數量積運算法則計算確定出f（α）的解析式，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，令解析式等于0，表示出1+k，根據α的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象求出正弦函數的值域，得出1+k的范圍，即可求出k的取值范圍．

解答：解：（1）由已知條件及三角函數定義，得到tanα=-

3

4

，又α∈[0，π），
∴sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，
則cos（α-

π

3

）=cosαcos

π

3

+sinαsin

π

3

=-

3

5

×

1

2

+

4

5

×

3

2

=

-3+4 3

10

；
（2）由點M的坐標是(

1

2

，

3

2

)，P（cosα，sinα），
由已知令f（α）=

OM

•

MP

-k=（

1

2

，

3

2

）（cosα-

1

2

，sinα-

3

2

）-k
=（

1

2

cosα+

3

2

sinα）-1-k=sin（α+

π

6

）-1-k=0，
即1+k=sin（α+

π

6

），
又α∈[0，π），∴α+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

），
由正弦定理圖象得：1+k∈[

1

2

，1），
則函數f(a)=

OM

•

MP

-k的恰有兩個零點的實數k取值范圍是-

1

2

≤k＜0．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數公式，平面向量的數量積運算，正弦函數的定義域與值域，以及任意角的三角函數定義，熟練掌握公式是解本題的關鍵．