Question

(本小題滿分12分）
設點到直線的距離與它到定點的距離之比為，并記點的軌跡為曲線．
（Ⅰ）求曲線的方程;
（Ⅱ）設，過點的直線與曲線相交于兩點，當線段的中點落在由四點構成的四邊形內（包括邊界）時，求直線斜率的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）有題意，     ………………2分
整理得，所以曲線的方程為………………4分
（Ⅱ）顯然直線的斜率存在，所以可設直線的方程為.

設點的坐標分別為
線段的中點為，
由
得
由解得．…(1) …………7分
由韋達定理得，于是
=，   ……………8分
因為，所以點不可能在軸的右邊，
又直線,方程分別為
所以點在正方形內（包括邊界）的充要條件為
 即 亦即 ………………10分
解得，……………(2)  
由（1）（2）知，直線斜率的取值范圍是………………12分
點評：橢圓的概念和性質，仍將是今后命題的熱點，定值、最值、范圍問題將有所加強；利用直線、弦長、圓錐曲線三者的關系組成的各類試題是解析幾何中長盛不衰的主題，其中求解與相交弦有關的綜合題仍是今后命題的重點；與其它知識的交匯(如向量、不等式)命題將是今后高考命題的一個新的重點、熱點.