Question

已知函數(shù)f（x）=-x²-x+a，g（x）=

f(x)， x≤2 f(x-1)+2， x＞2

且函數(shù)y=g（x）-ax恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意化簡(jiǎn)g（x）=

-x2-x+a，x≤2 -x2+x+2+a，x＞2

；令G（x）=

-x2-x，x≤2 -x2+x+2，x＞2

，F(xiàn)（x）=ax-a；從而化函數(shù)y=g（x）-ax恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)為G（x）與F（x）恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，從而作圖求解．

解答： 解：f（x-1）=-（x-1）²-（x-1）+a=-x²+x+a；
故g（x）=

-x2-x+a，x≤2 -x2+x+2+a，x＞2

；
令G（x）=

-x2-x，x≤2 -x2+x+2，x＞2

，F(xiàn)（x）=ax-a；
則函數(shù)y=g（x）-ax恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)可化為
G（x）與F（x）恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
作函數(shù)G（x）與F（x）的圖象如下，

結(jié)合圖象知，a＜0；
當(dāng)直線與曲線相切時(shí)取臨界值，
設(shè)切點(diǎn)為（x，-x²-x）；
則f′（x）=-2x-1=

-x2-x

x-1

；
解得，x=1-

2

；故a=-2（1-

2

）-1=2

2

-3；
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2

2

-3，0）；
故答案為：（2

2

-3，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的化簡(jiǎn)與應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．