Question

11、定義在R上的函數y=f（x）滿足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），當x∈[-1，1]時，f（x）=x³，則f（2009）的值是（　　）

A、-1

B、0

C、1

D、2

Answer 1

分析：因為f（-x）=-f（x），所以函數f（x）是奇函數．由此可得f（1+x）=-f（x-1），即f（x）=-f（x-2），利用仿寫的方法可得f（x）=f（x-4），即函數f（x）是周期函數并且周期為4．
進而得到f（2009）=f（4×502+1）=f（1），再結合題意可得答案．

解答：解：因為函數y=f（x）滿足f（-x）=-f（x），
所以函數f（x）是奇函數．
又因為f（1+x）=f（1-x），
所以f（1+x）=-f（x-1），即f（x）=-f（x-2），
所以f（x-2）=-f（x-4），
所以f（x）=f（x-4），即函數f（x）是周期函數并且周期為4．
所以f（2009）=f（4×502+1）=f（1）．
因為當x∈[-1，1]時，f（x）=x³，
所以f（1）=1，即f（2009）=1．
故選C．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握函數的奇偶性與函數的周期性，由f（1+x）=-f（x-1）或者f（1+x）=f（x-1）結合函數的奇偶性可得函數的周期．