Question

在R上可導的函數f(x)=x³+ax²+2bx+c,當x∈(0,1)時取得極大值,當x∈(1,2)時取得極小值,求點(a,b)對應的區域的面積以及的取值范圍.

Answer 1

解析:

函數f(x)的導數為f′(x)=x²+ax+2b,當x∈(0,1)時,f(x)取得極大值,當x∈(1,2)時,f(x)取得極小值,則方程x²+ax+2b=0有兩個根,一個根在區間(0,1)內,另一個根在區間(1,2)內,由二次函數f′(x)=x²+ax+2b的圖象與方程x²+ax+2b=0根的分布之間的關系可以得到

在aOb平面內作出滿足約束條件的點(a,b)對應的區域為△ABD(不包括邊界),

如圖陰影部分,其中點A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0),

△ABD的面積為

S_△ABD=|BD|×h=(h為點A到a軸的距離).

點C(1,2)與點(a,b)連線的斜率為,

顯然(k_CA,k_CB),

即