Question

設P₀（x₀，y₀）為圓x²+（y-1）²=1上的任意一點，要使不等式x₀-y₀-c≤0恒成立，則c的取值范圍是（　　）

• A．[0，+∞）
• B．[

  2

  -1，+∞）
• C．（-∞，

  2

  +1]
• D．[1-

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：由圓的方程找出圓心坐標和半徑，依題意得，只要圓上的點都在直線之下，臨界情況就是直線和圓上部分相切，即圓心（0，1）到直線的距離是1，利用點到直線的距離公式得到關于c的方程，求出方程的解，根據圖象判斷符合題意的c的值即可得到使不等式恒成立時c的取值范圍．

解答：解：由圓的方程x²+（y-1）²=1得，圓心（0，1），半徑r=1
令圓x²+（y-1）²=1與直線x-y-c=0相切，
則圓心到直線的距離d=r，即

|1+c|

1+1

=1，化簡得1+c=±

2

，
即c=

2

-1，或c=-

2

-1，（舍去），
結合圖象可知，當c≥

2

-1時，圓上的任一點都能使不等式x₀-y₀-c≤0恒成立．
故答案為：[2-1，+∞）

點評：本題考查直線與圓的關系，考查轉化思想，學生掌握不等式恒成立時所滿足的條件及直線與圓相切時所滿足的條件，靈活運用點到直線的距離公式化簡取值，靈活運用數形結合的數學思想解決實際問題，是一道綜合題．