Question

【題目】已知數列{an}，{bn}分別滿足a1=1，|an+1﹣an|=2，且 |=2，其中n∈N* ， 設數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn ， Tn ．
（1）若數列{an}，{bn}都是遞增數列，求數列{an}，{bn}的通項公式；
（2）若數列{cn}滿足：存在唯一的正整數k（k≥2），使得ck＜ck﹣1 ， 則稱數列{cn}為“k墜點數列”． ①若數列{an}為“5墜點數列”，求Sn；
②若數列{an}為“p墜點數列”，數列{bn}為“q墜點數列”，是否存在正整數m使得Sm+1=Tm？若存在，求出m的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵數列{an}，{bn}都為遞增數列，

∴由遞推式可得an+1﹣an=2，b2=﹣2b1=2，bn+2=2bn+1，n∈N*，

則數列{an}為等差數列，數列{bn}從第二項起構成等比數列．

∴an=2n﹣1，bn=

（2）解：①∵數列{an}滿足：存在唯一的正整數k=5，使得ak＜ak﹣1，且|an+1﹣an|=2，

∴數列{an}必為1，3，5，7，5，7，9，11，…，

即前4項為首項為1，公差為2的等差數列，從第5項開始為首項5，公差為2的等差數列，

故Sn= ；

②∵| |=2，即bn+1=±2bn，

∴|bn|=2n﹣1，

而數列{bn}為“q墜點數列”且b1=﹣1，

∴數列{bn}中有且只有兩個負項．

假設存在正整數m，使得Sm+1=Tm，顯然m≠1，且Tm為奇數，

而{an}中各項均為奇數，

∴m必為偶數．

由Sm+1≤1+3+…+（2m+1）=（m+1）2，

當q＞m時，Tm=﹣1+2+4+…+2m﹣2+2m﹣1=2m﹣3，

當m≥6時，2m﹣3＞（m+1）2，故不存在正整數m使得Sm+1=Tm；

當q=m時，Tm=﹣1+21+…+2m﹣2+（﹣2m﹣1）=﹣3＜0，

顯然不存在正整數m使得Sm+1=Tm；

當q＜m時，∴（Tm）min=﹣1+21+…+2m﹣3+（﹣2m﹣2）+2m﹣1=2m﹣1﹣3．

當2m﹣1﹣3＜（m+1）2，才存在正整數m使得Sm+1=Tm；

即m≤6．

當m=6時，q＜6，

構造：{an}為1，3，1，3，5，7，9，…，{bn}為﹣1，2，4，8，﹣16，32，64，…

此時p=3，q=5．

∴mmax=6，對應的p=3，q=5

【解析】（1）由兩數列為遞增數列，結合遞推式可得an+1﹣an=2，b2=﹣2b1，bn+2=2bn+1，n∈N*，由此可得數列{an}為等差數列，數列{bn}從第二項起構成等比數列，然后利用等差數列和等比數列的通項公式求得答案；（2）①根據題目條件判斷：數列{an}必為1，3，5，7，5，7，9，11，…，即前4項為首項為1，公差為2的等差數列，從第5項開始為首項5，公差為2的等差數列，求解Sn即可．②運用數列{bn}為“墜點數列”且b1=﹣1，綜合判斷數列{bn}中有且只有兩個負項．假設存在正整數m，使得Sm+1=Tm，顯然m≠1，且Tm為奇數，而{an}中各項均為奇數，可得m必為偶數．再討論q＞m，q=m，q＜m，證明m≤6，求出數列即可．
【考點精析】掌握數列的前n項和和數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．