Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 已知2Sn=3n+3．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{bn}，滿足anbn=log3an ， 求{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)?Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，

當(dāng)n＞1時(shí)，2Sn﹣1=3n﹣1+3，

此時(shí)，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即an=3n﹣1，

所以an= ．

（2）解：因?yàn)閍nbn=log3an，所以b1= ，

當(dāng)n＞1時(shí)，bn=31﹣nlog33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，

所以T1=b1= ；

當(dāng)n＞1時(shí)，Tn=b1+b2+…+bn= +（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），

所以3Tn=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），

兩式相減得：2Tn= +（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）= + ﹣（n﹣1）×31﹣n= ﹣ ，

所以Tn= ﹣ ，經(jīng)檢驗(yàn)，n=1時(shí)也適合，

綜上可得Tn= ﹣

【解析】（1）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；當(dāng)n＞1時(shí)，2Sn﹣1=3n﹣1+3，兩式相減2an=2Sn﹣2Sn﹣1 ， 可求得an=3n﹣1 ， 從而可得{an}的通項(xiàng)公式；（2）依題意，anbn=log3an ， 可得b1= ，當(dāng)n＞1時(shí)，bn=31﹣nlog33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n ， 于是可求得T1=b1= ；當(dāng)n＞1時(shí)，Tn=b1+b2+…+bn= +（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用錯(cuò)位相減法可求得{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．