Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓的離心率，過點和的直線與原點的距離為。⑴求橢圓的方程；⑵已知定點，若直線與橢圓交于兩點，問：是否存在的值，使以為直徑的圓過點？請說明理由。

Answer 1

（1）橢圓的方程為；（2）存在使得以CD為直徑的圓過點E。

試題分析：（1）直線方程為
依題意可得： 解得：
∴橢圓的方程為
（2）假設(shè)存在這樣的值。
由 得
∴
設(shè)
而
要使以為直徑的圓過點，當(dāng)且僅當(dāng)時
則
即

將（2）代入（3）整理得
經(jīng)驗證使得（1）成立
綜上可知，存在使得以CD為直徑的圓過點E。
點評：圓錐曲線的問題一般來說計算量大，對運算能力要求很高，尋求簡潔、合理的運算途徑很重要，在解答時注意以下的轉(zhuǎn)化：⑴若直線與圓錐曲線有兩個交點，對待交點坐標(biāo)是“設(shè)而不求”的原則，要注意應(yīng)用韋達定理處理這類問題 ； ⑵與弦的重點有關(guān)問題求解常用方法一韋達定理法 二 點差法；