Question

在直角坐標(biāo)平面中,已知點(diǎn), ，…, 其中n是正整數(shù). 對平面上任一點(diǎn), 記A₁為A₀關(guān)于點(diǎn)P₁的對稱點(diǎn), A₂為A₁關(guān)于點(diǎn)P₂的對稱點(diǎn), ┄, A_N為A_N-1關(guān)于點(diǎn)P_N的對稱點(diǎn).

   （1）求向量的坐標(biāo);

   （2）當(dāng)點(diǎn)A₀在曲線C上移動時, 點(diǎn)A₂的軌跡是函數(shù)的圖象,其中是以3為周期的周期函數(shù),且當(dāng)x∈(0,3)時,=lgx.求以曲線C為圖象的函數(shù)在(1,4)上的解析式;

   （3）對任意偶數(shù)n,用n表示向量的坐標(biāo).

Answer 1

解：（1）法一: 設(shè)點(diǎn)A₀(x,y), A₁為A₀關(guān)于點(diǎn)P₁的對稱點(diǎn)，A₁的坐標(biāo)為(2-x,4-y),   

 A₂為A₁關(guān)于點(diǎn)P₂的對稱點(diǎn)，A₂的坐標(biāo)為(2+x,4+y),  

∴=（2，4）.

法二：=2，  ∴=（2，4）

（2） 法一∵=（2，4）,

∴f(x)的圖象由曲線C向右平移2個單位,再向上平移4個單位得到.因此,

曲線C是函數(shù)y=g(x)的圖象,其中g(shù)(x)是以3為周期的周期函數(shù),

且當(dāng)x∈(-2,1]時,g(x)=lg(x+2)-4.于是, 當(dāng)x∈(1,4)時, g(x)=lg(x-1)-4.

法二：設(shè)點(diǎn)A₀(x,y), 則A₂的坐標(biāo)為(2+x,4+y)

∵點(diǎn)A₂的軌跡是函數(shù)y=f(x)的圖象，于是當(dāng)0<x+2≤3時，有y+4=lg(x+2)，

即當(dāng)-2< x≤1時, g(x)=y=lg(x+2)-4. 

∴當(dāng)x∈(1,4)時,g(x)=lg(x-1)-4.

（3） =, 由于,得

=2() =2(（1,2）+（1,2³）+…+（1,2^n-1）)

=2(,) = (n,)