Question

在△ABC中，記BC=a，CA=b，AB=c，若9a²+9b²-19c²=0，求

cotC

cotA+cotB

的值．

Answer 1

分析：可將9a²+9b²-19c²=0，轉化為9（a²+b²-c²）=10c²，逆用余弦定理得到18abcosC=10c²，再利用正弦定理轉化為9sinAsinBcosC=5sin²C，再將

cotC

cotA+cotB

中的切化弦，逆用兩角和的正弦公式，最后代入即可．

解答：解：∵9（a²+b²-c²）=10c²，由余弦定理a²+b²-c²=2abcosC得：
18abcosC=10c²，又

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
∴9sinAsinBcosC=5sin²C，
∴

cotC

cotA+cotB

=

cosC sinC

cosA sinA + cosB sinB

=

sinAsinBcosC

sinC(cosAsinB+sinAcosB)

=

sinAsinBcosC

sinCsin(A+B)

=

sinAsinBcosC

sin2C

=

5

9

．

點評：本題考查余弦定理與正弦定理，著重考查整體代入與轉化的思想，屬于中檔題．