Question

已知拋物線C：x²=2py （p＞0）的焦點F在直線x-y+1=0上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設直線l經過點A（-1，-2），且與拋物線C有且只有一個公共點，求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）由拋物線方程x²=2py （p＞0），知其焦點在y軸正半軸上，
在直線x-y+1=0中，令x=0，得焦點坐標為F（0，1），所以，即p=2，
故拋物線C的方程是x²=4y．
（2）直線的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x+1）-2，
由方程組 消去y，得x²-4kx-4k+8=0，
因為直線l與拋物線C有且只有一個公共點，所以△=16k²-4（8-4k）=0，解得k=-2或k=1．
此時直線l的方程為2x+y+4=0或x-y-1=0；
當直線的斜率不存在時，直線l的方程為x=-1，直線l與拋物線C有且只有一個公共點．
綜上，可得當直線l的方程為2x+y+4=0，x-y-1=0或x=-1時，直線l與拋物線C有且只有一個公共點．
分析：（1）先確定拋物線的焦點坐標，即可求得拋物線的方程；
（2）考慮斜率是否存在，利用判別式為0，即可求得結論．
點評：本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．