Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）上的一點Q（m，2）到其焦點F的距離為3．
（I）求拋物線C的方程；
（II）過坐標平面上的點F′作拋物線C的兩條切線l₁和l₂，分別交x軸于A，B兩點．
（i ）若點F′的坐標為（0，-1），如圖，求證：△ABF′的外接圓過點F；
（ii）試探究：若改變點F'的位置，或拋物線的開口大小，（i）中的結論是否仍然成立？由此給出一個使（i）中的結論成立的命題，并加以證明．

Answer 1

分析：（I）先利用拋物線的定義求出p，即可求拋物線C的方程；
（II）（i ）先利用直線與圓相切求出切線l₁和l₂的方程，進而求出A，B兩點的坐標，再求出過A，B，F′的圓的方程即可證明結論．
（ii）先由（i ）的提示寫出命題：設F'為拋物線x²=2py外一點，若過點F'作拋物線的兩條切線l₁，l₂分別交x軸與A，B兩點，則△ABF′的外接圓過點F．再證明線段AB，AF'AF的垂直平分線交于一點M，即可證明結論．

解答：解：（I）由拋物線的定義得2-（-

p

2

）=3，解得p=2，
故拋物線的方程為：x²=4y．
（II）（i ）由題得，過點F'（0，-1）且與曲線相切的直線的斜率存在，
設其方程為y=kx-1，
由

x2=4y y=kx-1

得x²-4kx+4=0．
令△=0得k=±1．
故所求的兩條切線分別為l₁：y=x-1，l₂，y=-x-1．
設l₁交x軸與點A，則A（1，0）；l₂交x軸與點B，則B（-1，0）．
設△ABF'的外接圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．
則.

1+D+F=0 1-D+F=0 1-E+F=0

?

D=0 E=0 F=-1

．
故△ABF'的外接圓方程為x²+y²=1．它過點F（0，1）．
（ii）命題：設F'為拋物線x²=2py外一點，若過點F'作拋物線的兩條切線l₁，l₂分別交x軸與A，B兩點，則△ABF′的外接圓過點F．
證明：設l₁，l₂分別切拋物線x²=2py于P₁（x₁，y₁），P（x₂，y₂）．
則x₁≠0，x₂≠0．
∵y'=

x

p

，故l₁，l₂的方程分別為y-y₁=

x1

p

（x-x₁）和y-y₂=

x2

p

（x-x₂）．
解得A（

x1

2

，0）；B（

x2

2

，0）．
由

y- y1= x1 p (x- x1) y-y2= x2 p (x-x2)

，得F'（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

）
AB的垂直平分線方程為x=

x1+x2

4

；
AF'的垂直平分線方程為y-

x1x2

4p

=-

p

x1

（x-

2x1+x2

4

），
它們的交點為M（

x1+x2

4

，

x1x2+p2

4p

）．
又F（0，

p

2

），故AF的中點為N（

x1

4

，

p

4

），所以

FA

=（

x1

2

，-

p

2

），

MN

=（

x2

4

，

x1x2

4p

）
∴

FA

•

MN

=

x1x2

8

-

px1x2

8p

=0．
故線段AB，AF'AF的垂直平分線交于一點M，即A，B，F'都在以M為圓心的圓上，
也就是說△ABF′的外接圓過點F．

點評：本題主要考查拋物線的標準方程，直線與圓錐曲線的 位置關系等基礎知識，考查推理論證能力，運算求解能力及創新意識，考查化歸與轉化思想，數形結合思想以及特殊與一般思想．