Question

【題目】已知且，函數，記.

（1）求函數的定義域及其零點；

（2）若關于的方程在區間內僅有一解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）定義域為，零點為0.（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據得的解析式，即可求出的定義域，令，由對數函數的性質可解得的值，通過檢驗即可得到零點；（2）方程可化為，設，構造函數，可得單調性與最值，進而可得的取值范圍.

試題解析：（1），

所以，解得，所以的定義域為.

令，則，

方程變為，即，

解得，

經檢驗是方程的增根，所以方程的解為，所以的零點為0.

（2）方程可化為 ，

所以，

設，則函數在區間上是減函數，

當時，此時， ，所以，

①若，則，方程有解；

②若，則，方程有解.

綜上所述，當時， 的取值范圍是；當時， 的取值范圍是.