Question

【題目】已知函數，，．

（Ⅰ)若的圖像在處的切線過點，求的值并討論在上的單調增區間；

（Ⅱ）定義：若直線與曲線、都相切，則我們稱直線為曲線、的公切線．若曲線與存在公切線，試求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】【試題分析】(I)求出函數在處的切線方程,代入點求得的值.求出的表達式,對求導后對分類討論,由此求得函數的單調區間.(II)由出發,設出其切點的橫坐標,求得切線方程,同理求得的切線方程,聯立這兩條切線方程可求得的表達式,構造函數,利用導數證得有解,從而證得存在共切線.

【試題解析】

（Ⅰ）由，得．又，

故在的切線方程為．帶入，得

．從而，，．

①當時，，．故的單調增區間為；

②當，即時，，．故的單調增區間為；

③當，即時，由得，故的單調增區間為．

綜上，當時，的單調增區間為；當時，的單調增區間為．

（Ⅱ）設的切點橫坐標為，，

切線方程為……①

設的切點橫坐標為，，

切線方程為……②

聯立①②，得，消去得．

考慮函數，．

令，得或．

當或時，，函數在區間，上單調遞減，當且時，，函數在區間，上單調遞增．

，．故當時，方程有解，

從而，函數與存在公切線．