Question

【題目】如圖，菱形與四邊形相交于，，平面，，，，為的中點，.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）取的中點，根據三角形中位線性質得，再由線面平行判定定理以及面面平行判定定理得平面平面，最后根據面面平行性質得結論，（2）根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，通過解方程組得面法向量，根據向量數量積求向量夾角，最后根據線面角與向量夾角互余關系求結果.

試題解析：（1）證明：取的中點，連接，.

因為為菱形對角線的交點，所以為中點.

又為中點，所以，又平面，平面，所以平面.

又因為，分別為，的中點.

所以，又因為，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，，所以平面平面.

又平面，所以平面.

（2）解：連接.

設菱形的邊長，則由，得，.

又因為，所以.

則在直角中，，所以.

由平面，，得平面.

以為坐標原點，分別以，所在直線為軸，軸，過點與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，

則，.

設為平面的一個法向量，

則即.

令，得，所以.

又，

所以.

設直線與平面所成角為，則.

所以直線與平面所成角的正弦值為.