Question

【題目】已知x∈（1，+∞），函數f（x）=ex+2ax（a∈R），函數g（x）=| ﹣lnx|+lnx，其中e為自然對數的底數．
（1）若a=﹣ ，求函數f（x）的單調區間；
（2）證明：當a∈（2，+∞）時，f′（x﹣1）＞g（x）+a．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣ ，f（x）=ex﹣e2x，x∈（1，+∞），

f′（x）=ex﹣e2，

當x∈（1，2）時，f′（x）＜0，f（x）在（1，2）上單調遞減；

當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上單調遞增

（2）證明： x∈（1，+∞），f′（x﹣1）=ex﹣1+2a，

g（x）=| ﹣lnx|+lnx= ，

①1＜x＜e時，證明當a∈（2，+∞）時，f′（x﹣1）＞g（x）+a，

即證明：ex﹣1+2a＞ +a，a＞2，

即a＞ ﹣ex﹣1，

只需證明h（x）= ﹣ex﹣1≤2在（1，e）恒成立即可，

h′（x）=﹣ ﹣ex﹣1＜0，h（x）在（1，e）遞減，

h（x）最大值=h（1）=e﹣1＜2，

∴a＞ ﹣ex﹣1，

∴1＜x＜e時，當a∈（2，+∞）時，f′（x﹣1）＞g（x）+a；

②x≥e時，證明當a∈（2，+∞）時，f′（x﹣1）＞g（x）+a，

即證明：ex﹣1+2a＞2lnx﹣ +a，a＞2，

令m（x）=ex﹣1﹣2lnx+ +a，（a＞0，x≥e），

m′（x）=﹣ ﹣ +ex﹣1，顯然m′（x）在[e，+∞）遞增，

而m′（e）= ≈0，m′（3）≈6，

近似看成m（x）在[e，+∞）遞增，

∴m（x）＞m（x0）≈m（e）=ee﹣1+a﹣1＞ee﹣1+1＞0，

綜上，當a∈（2，+∞）時，f′（x﹣1）＞g（x）+a

【解析】（1）把a=﹣ 代入函數解析式，求出函數的導函數由導函數的符號求得函數的單調區間；（2）求出f′（x﹣1）的表達式以及g（x）的分段函數，通過討論1＜x＜e和 x≥e的范圍分別證明得答案．