Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx+ mx2﹣（m+1）x+1．
（1）若g（x）=f'（x），討論g（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）在x=1處取得極小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： ．

①m=0時(shí)，當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；

②m＞0時(shí)，當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；

③m＜0時(shí)，令 g'（x）=0，得 ，所以當(dāng) 時(shí)，g'（x）＞0；

當(dāng) 時(shí)，g'（x）＜0，所以g（x）在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，

綜上所述，m≥0時(shí)，g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；

m＜0時(shí)，g（x）在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減

（2）解：f'（x）=lnx+m（x﹣1），

當(dāng)m≥0時(shí)，f'（x）單調(diào)遞增，恒滿足f'（1）=0，且在x=1處單調(diào)遞增，

當(dāng)m＜0時(shí)，f'（x）在 單調(diào)遞增，故 ，即﹣1＜m＜0；

綜上所述，m取值范圍為（﹣1，+∞）

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，判斷是否滿足f'（1）=0，從而求出m的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．