Question

對于定義域為D的函數y=f（x），若同時滿足：①f（x）在D內單調遞增或單調遞減；②存在區間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫做閉函數．
（Ⅰ）請你舉出一個閉函數的例子，并寫出它的一個符合條件②的區間[a，b]；
（Ⅱ）求閉函數y=-x³符合條件②的區間[a，b]；
（Ⅲ）判斷函數f(x)=

3

4

x+

1

x

  (x＞0)是否為閉函數？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據一次函數的性質知，f（x）=x滿足條件．
（2）根據y=-x³的單調性，假設區間為[a，b]滿足，求a、b的值．
（3）取一特殊值x₁=1，x₂=10，代入驗證不滿足條件即可證明不是閉函數．

解答：解：（Ⅰ）如f（x）=x，[a，b]=[1，2]．
（Ⅱ）由題意，y=-x³在[a，b]上遞減，則

b=-a3 a=-b3 b＞a

，
解得

a=-1 b=1

．
所以，所求的區間為[-1，1]．
（Ⅲ）取x₁=1，x₂=10，則f(x1)=

7

4

＜

76

10

=f(x2)，
即f（x）不是（0，+∞）上的減函數．
取x1=

1

10

，x2=

1

100

，f(x1)=

3

40

+10＜

3

400

+100=f(x2)，
即f（x）不是（0，+∞）上的增函數．
所以，函數在定義域內既不單調遞增也不單調遞減，從而該函數不是閉函數．

點評：本題主要考查通過給定的新定義來解題．這種題重要考查學生的接受新內容的能力．