設函數
.
（1）若
，求函數
的單調區間；
（2）若函數
在區間
上是減函數，求實數
的取值范圍；
（3）過坐標原點
作曲線
的切線，證明:切點的橫坐標為
.
（1）減區間為
,增區間
，（2）
，（3）詳見解析.
解析試題分析：（1）利用導數求函數單調性，有四個步驟.一是求出定義域：
，二是求導數
，三是分析導數符號變化情況：
，四是根據導數符號寫出對應單調區間：減區間為,增區間.（2）已知函數單調性研究參數范圍問題，通常轉化為恒成立問題. 因為函數在區間上是減函數，所以
對任意
恒成立.而恒成立問題又利用變量分離法解決,即
對任意恒成立. 因此
（3）求切點問題，從設切點
出發，利用切點處導數等于切線斜率列等量關系：
.解這類方程，仍需利用導數分析其單調性，利用零點存在定理解決.
試題解析：解: （1）時, 
， 
， 1分
，
的減區間為,增區間. 3分
（2）
在區間
上是減函數，
對任意恒成立，
即
對任意恒成立， 5分
對任意恒成立，
令
，
， 7分
易知
在單調遞減，
.
. 8分
（3）設切點為，
，
切線的斜率
，又切線過原點
，
，
存在性：
滿足方程，
所以，是方程的根. 11分
再證唯一性：設
，
，
在
單調遞增，且
，
所以方程有唯一解.
綜上，切點的橫坐標為. 13分
考點：利用導數求函數性質
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
一個圓柱形圓木的底面半徑為1m，長為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分．現要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形
（如圖所示，其中O為圓心，
在半圓上），設
，木梁的體積為V（單位：m3），表面積為S（單位：m2）．
（1）求V關于θ的函數表達式；
（2）求
的值，使體積V最大；
（3）問當木梁的體積V最大時，其表面積S是否也最大？請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數
，
（1）求函數
的單調區間；
（2）若當
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；
（3）若關于
的方程
在區間
上恰好有兩個相異的實根，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)為奇函數，其圖象在點(1，f(1))處的切線與直線x－6y－7＝0垂直，導函數f′(x)的最小值為－12.
(1)求函數f(x)的解析式；
(2)求函數f(x)的單調增區間，并求函數f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
一個圓柱形圓木的底面半徑為1m，長為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分．現要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形
（如圖所示，其中O為圓心，
在半圓上），設
，木梁的體積為V（單位：m3），表面積為S（單位：m2）．
（1）求V關于θ的函數表達式；
（2）求
的值，使體積V最大；
（3）問當木梁的體積V最大時，其表面積S是否也最大？請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
(1)求曲線y=f(x)在(2，f(2))處的切線方程；
(2)若g(x)=f(x)一
有兩個不同的極值點．其極小值為M，試比較2M與一3的大小，并說明理由；
(3)設q>p>2，求證：當x∈(p，q)時，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝ax＋x2－xlna(a>0，a≠1)．
(1)當a>1時，求證：函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；
(2)若函數y＝|f(x)－t|－1有三個零點，求t的值；
(3)若存在x1、x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，試求a的取值范圍．
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.
在區間（-2，0）內恰有兩個零點，求a的取值范圍；
，
，
. 
，求
的單調遞增區間；
與
軸相切于異于原點的一點，且
，求
的值.