Question

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的焦距為2，且過點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知△BMN是橢圓C的內(nèi)接三角形，若坐標(biāo)原點(diǎn)O為△BMN的重心，求點(diǎn)O到直線MN距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意焦距的值可得c的值，再由橢圓過點(diǎn)，及a，b，c之間的關(guān)系求出a，b的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；

（2）分B的縱坐標(biāo)為0和不為0兩種情況討論，設(shè)B的坐標(biāo)，由O是三角形的重心可得MN的中點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)M，N的坐標(biāo)，代入橢圓方程兩式相減可得直線MN的斜率，求出直線MN的方程，求出O到直線MN的距離的表達(dá)式，再由B的縱坐標(biāo)的范圍求出d的取值范圍，進(jìn)而求出d的最小值.

解：（1）由題意可得：橢圓的焦距為2，則，又橢圓過點(diǎn)

，解得：a2＝4，b2＝3，

所以橢圓的方程為：1；

（2）設(shè)B，記線段MN中點(diǎn)D，

因?yàn)?/span>O為BMN的重心，所以2，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為：，

若n＝0，則|m|＝2，此時直線MN與x軸垂直，

故原點(diǎn)O到直線MN的距離為，即為1，

若n≠0，此時直線MN的斜率存在，

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2＝﹣m，y1+y2＝﹣n，

又1，1，

兩式相減0，

可得：kMN，

故直線MN的方程為：y（x），即6mx+8ny+3m2+4n2＝0，

則點(diǎn)O到直線MN的距離d，

將1，代入得d，

因?yàn)?/span>0＜n2≤3，所以dmin，又1，

故原點(diǎn)O到直線MN的距離的最小值為.