Question

19、如圖所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中點，O為AE的中點，以AE為折痕將△ADE向上折起，使D到P點位置，且PC=PB，F是BP的中點．
（Ⅰ）求證：CF∥面APE；
（Ⅱ）求證：PO⊥面ABCE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證CF∥面APE，而FC?平面FGC，可先證平面APE∥平面FGC，取AB中點G，連接GF，GC，易證四邊形AECG為平行四邊形，則AE∥GC，而GF∥AP，GF∩GC=G，AE∩AP=A，滿足面面平行的判定定理所需條件；
（Ⅱ）欲證PO⊥面ABCE，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證PO與面ABCE內兩相交直線垂直，取BC的中點H，連OH，PH，根據線面垂直的判定定理可知BC⊥面POH，則BC⊥PO，而PO⊥AE，又BC與AE相交滿足定理條件．

解答：解：（Ⅰ）取AB中點G，連接GF，GC，∵EC∥AB，EC=AB，∴四邊形AECG為平行四邊形，∴AE∥GC，（2分）
在△ABP中，GF∥AP（3分）
又GF∩GC=G，AE∩AP=A
所以平面APE∥平面FGC（5分）
又FC?平面FGC
所以，CF∥面APE（6分）
（Ⅱ）PA=PE，OA=OE∴PO⊥AE
取BC的中點H，連OH，PH，∴OH∥AB，∴OH⊥BC
因為PB=PC∴BC⊥PH，所以BC⊥面POH
從而BC⊥PO（10分）
又BC與AE相交，可得PO⊥面ABCE（12分）

點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及線面垂直的判定，同時考查了空間想象能力、推理論證的能力．