Question

已知拋物線y²=4x的焦點為F，在第一象限中過拋物線上任意一點P的切線為l，過P點作平行于x軸的直線m，過焦點F作平行于l的直線交m于M，若|PM|=4，則點P的坐標為

(3，2

3

)

．

Answer 1

分析：拋物線y²=4x的焦點為F （1，0），設點P （a，2

a

），利用導數求出過點P的切線l的斜率，用點斜式求直線l的方程，把它與直線m的方程y=2

a

 聯立方程組求得點M（2a+1，2

a

），由|PM|=4求出a的值，即可得到點P的坐標．

解答：解：拋物線y²=4x的焦點為F （1，0），設點P （a，2

a

），
則過點P的切線l的斜率為函數y=2

x

在x=a處的導數2×

1

2

a-

1

2

=

1

a

，
故過焦點F作平行于l的直線方程為 y-0=

1

a

（x-1），即 x-

a

y-1=0 ①．
又直線m的方程為 y=2

a

 ②．
把①②連聯立方程組解得點M（2a+1，2

a

），由|PM|=4可得2a+1-a=4，a=3，故點P的坐標為（3，2

3

），
故答案為 (3，2

3

)．

點評：本題主要考查拋物線的標準方程，以及簡單性質的應用，用點斜式求直線方程以及求兩直線的交點坐標的方法，屬于中檔題．