Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上頂點為P（0，1），過C的焦點且垂直長軸的弦長為1．若有一菱形ABCD的頂點A、C在橢圓C上，該菱形對角線BD所在直線的斜率為-1．
（1）求橢圓∑的方程；
（2）當直線BD過點（1，0）時，求直線AC的方程；
（3）當∠ABC=

π

3

時，求菱形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）依題意，b=1，解

c2

a2

+

y2

b2

=1，得|y|=

b2

a

，所以

2b2

a

=1，由此能求出橢圓E的方程．
（2）直線BD：y=-1×（x-1）=-x+1，設AC：y=x+b，由方程組

y=x+b x2 4 +y2=1

得

5x2

4

+2bx+(b2-1)=0，再由根的判別式、中點坐標公式和菱形的性質能推導出AC的方程．
（3）因為四邊形ABCD為菱形，且∠ABC=

π

3

，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面積S=

3

2

×AC2，由AC²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=2（x₂-x₁）²=2（x₂+x₁）²-8x₁x₂=

32

5

-

32

25

×b2，能推導出當且僅當b=0時，菱形ABCD的面積取得最大值．

解答：解：（1）依題意，b=1，
解

c2

a2

+

y2

b2

=1，得|y|=

b2

a

，
所以

2b2

a

=1，a=2，
橢圓E的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）直線BD：y=-1×（x-1）=-x+1，
設AC：y=x+b，
由方程組

y=x+b x2 4 +y2=1

得

5x2

4

+2bx+(b2-1)=0，
當△=(2b)2-4×

5

4

×(b2-1) =5-b2＞0時，
A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）的中點坐標為

x1+x2

2

=-

4

5

b，

y1+y2

2

=

b

5

，
ABCD是菱形，所以AC的中點在BD上，所以

b

5

=

4b

5

+1
解得b=-

5

3

，滿足△=5-b²＞0，所以AC的方程為y=x-

5

3

．
（3）因為四邊形ABCD為菱形，且∠ABC=

π

3

，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面積S=

3

2

×AC2，
由（2）可得AC²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₂）²=2，
AC²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=2（x₂-x₁）²=2（x₂+x₁）²-8x₁x₂=2×(-

8b

5

)2-8×

4

5

×(b2-1)=

32

5

-

32

25

×b2，
因為|b|＜

5

，所以當且僅當b=0時，菱形ABCD的面積取得最大值，最大值為

3

2

×

32

5

=

16 3

5

．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要靈活運用根的判別式、中點坐標公式和菱形的性質，結合橢圓的性質注意合理地進行等價轉化．