Question

已知圓過定點，圓心在拋物線上，、為圓與軸的交點．

（Ⅰ）當圓心是拋物線的頂點時，求拋物線準線被該圓截得的弦長．

（Ⅱ）當圓心在拋物線上運動時，是否為一定值？請證明你的結論．

（Ⅲ）當圓心在拋物線上運動時，記，，求的最大值，并求出此時圓的方程．

 

Answer 1

（1）；（2）見解析； （3）

【解析】

試題分析：（1）先求出拋物線的準線方程，圓的方程，再利用勾股定理求拋物線準線被該圓截得的弦長；（2）求出的坐標，再計算，即可得出結論；（3）求出，表示出分類討論，利用基本不等式求最大值，從而可得圓C的方程．

 

試題解析：（1）拋物線的頂點為，準線方程為，圓的半徑等于1，圓的方程為．弦長

（2）設圓心，則圓的半徑，

圓的方程是為：

令，得，得，，

是定值．

（3）由（2）知，不妨設，，，．

．

當時，．

當時，．

當且僅當時，等號成立

所以當時，取得最大值，此時圓的方程為．

考點：圓的方程，考查直線與圓的位置關系 ．