Question

異面直線a，b所成的角為60°，則過空間中一點P與a，b都成30°的直線有________條？與a，b都成50°的直線有________條？與a，b都成60°的直線有________條？與a，b都成70°的直線有________條？過大小為60°的二面角外一點P作與它的兩個面都成60°的直線有________條？

Answer 1

1    2    3    4    5
分析：根據異面直線a與b所成的角為60°，P為空間一點，過P分別作直線a，b的平行線，得到∠APB=60°，過P點作直線c，d分別是角∠APB的平分線和面APB的垂線，這時c與a，b所成角為30°，d與a，b所成角為90°，然后直線從c轉到直線d的過程中一定經過30°、50°、60°、70°的角，可求出直線的條數．過大小為60°的二面角外一點P作與它的兩個面都成60°的直線，可轉化為過點P與兩個平面的垂所成的角為30°，直線的條數．
解答：把異面直線a，b平移到相交，使交點為P，
此時∠APB=60°，過P點作直線c平分∠APB，這時c與a，b所成角為30°，一條
過P點作直線d垂直a和b，這時d與a，b所成角為90°
直線從c向兩邊轉到d時與a，b所成角單調遞增，必有經過30°、50°、60°、70°的角，
因為兩邊，所以有2條．
∠AFE是度數為120°的二面角的一個平面角，AP是其的角平分線，當過點P的直線與AP平行時，滿足條件，當過點P的直線與AD平行時，也滿足條件，與AD類似，
當過點P的直線與BE平行時，也滿足條件，同理，在二面角為60°的兩半平面內也存在兩條直線滿足條件．
故答案為：1，2，3，4，5
點評：此題是個中檔題．考查異面直線所成的角，以及解決異面直線所成的角的方法（平移法）的應用，體現了轉化的思想和運動變化的思想方法．