Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，如果函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，試比較與1的大小；
（3）求證：

Answer 1

（1）的取值范圍是或；（2）①當(dāng)時(shí)，，即；
②當(dāng)時(shí)，，即；③當(dāng)時(shí)，，即；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值等數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問題和解決問題的能力，考查函數(shù)思想和分類討論思想.第一問，先將代入得到解析式，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031041242442.png" style="vertical-align:middle;" />僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以和僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以關(guān)鍵是的圖像，對(duì)求導(dǎo)，令和判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的極值和最值所在位置，求出具體的數(shù)值，便可以描繪出函數(shù)圖像，來決定的位置；第二問，先將代入，得到解析式，作差法比較大小，得到新函數(shù)，判斷的正負(fù)即可，通過對(duì)求導(dǎo)，可以看出在上是增函數(shù)且，所以分情況會(huì)出現(xiàn)3種大小關(guān)系；第三問，法一：利用第二問的結(jié)論，得到表達(dá)式，再利用不等式的性質(zhì)得到所證表達(dá)式的右邊，左邊是利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)，得證；法二，用數(shù)學(xué)歸納法證明，先證明當(dāng)時(shí)不等式成立，再假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，然后利用假設(shè)的結(jié)論證明當(dāng)時(shí)不等式成立即可.
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域是，
，令，得或.
∵當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴的極大值是，極小值是.
∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是或．    4分
（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031041913533.png" style="vertical-align:middle;" />．
令，
，
在上是增函數(shù)．
①當(dāng)時(shí)，，即；
②當(dāng)時(shí)，，即；
③當(dāng)時(shí)，，即．         8分
（3）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．
令，則有，
．，
．                12分
(法二)當(dāng)時(shí)，．
，，即時(shí)命題成立．
設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即 ．
時(shí)，．
根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．
令，則有，
則有，即時(shí)命題也成立．
因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立.