Question

某學校需要一批一個銳角為θ的直角三角形硬紙板作為教學用具（≤θ≤），現準備定制長與寬分別為a、b（a＞b）的硬紙板截成三個符合要求的△AED、△BAE、△EBC．（如圖所示）
（1）當θ=時，求定制的硬紙板的長與寬的比值；
（2）現有三種規格的硬紙板可供選擇，A規格長80cm，寬30cm，B規格長60cm，寬40cm，C規格長72cm，寬32cm，可以選擇哪種規格的硬紙板使用．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據準備定制長與寬分別為a、b（a＞b）的硬紙板截成三個符合要求的△AED、△BAE、△EBC，可得∠AED=∠CBE=θ從而可求θ=時，定制的硬紙板的長與寬的比值；
（2）求出定制的硬紙板的長與寬的比值，根據角的范圍，確定比值的范圍，從而可判斷哪種規格的硬紙板符合條件．
解答：解：（1）由題意∠AED=∠CBE=θ

∵b=BE•cos30°=AB•sin30°•cos30°=a
∴=          …4′
（2）∵b=BE•cosθ=AB•sinθ•cosθ=AB•sin2θ，∴=sin2θ
∵≤θ≤，∴≤2θ≤，∴∈[，]…10′
A規格：=＜，不符合條件．…11′
B規格：=＞，不符合條件．…12′
C規格：=∈[，]，符合條件．…13′
∴選擇買進C規格的硬紙板．…14′
點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，解題的關鍵是確定相似形，確定定制的硬紙板的長與寬的比值．