Question

【題目】某集團為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經調查投入廣告費t(百萬元)，可增加銷售額約為－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤5) (注：收益＝銷售額－投放)．

（1）若該公司將當年的廣告費控制在3百萬元之內，則應投入多少廣告費，才能使該公司由此獲得的收益最大？

（2）現該公司準備共投入3百萬元，分別用于廣告促銷和技術改造．經預測，每投入技術改造費x(百萬元)，可增加的銷售額約為－x3＋x2＋3x(百萬元)．請設計一個資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大．

Answer 1

【答案】將2百萬元用于技術改造， 1百萬元用于廣告促銷，該公司由此獲得的收益最大．

【解析】試題分析：（1）設投入 百萬元)的廣告費后增加的收益為 ，根據收益為銷售額與投放的差可建立收益模型為： ，再由二次函數法求得最大值；（2）根據題意，若用技術改造的資金為 (百萬元)，則用于廣告促銷的資金為 (百萬元)，則收益模型為 ，因為是高次函數，所以用導數法研究其最大值.

試題解析：(1)設投入t(t百萬元)的廣告費后增加的收益為f(t)(百萬元)，

則有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2) 2＋4(0＜t≤3)，

所以當t＝2百萬元時，f(t)取得最大值4百萬元．

即投入2百萬元時的廣告費時，該公司由此獲得的收益最大．

(2)設用技術改造的資金為x(百萬元)，則用于廣告促銷的資金為(3－x)(百萬元)，則

則有g(x)＝＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)

所以g′(x)＝－x2＋4.令g′(x)＝0，解得x＝2，或x＝－2(舍去)．

又當0≤x＜2時，g′ (x)＞0，當2＜x≤3時，g′(x)＜0．

故g(x)在[0,2]上是增函數，在[2,3]上是減函數．

所以當x＝2時，g(x)取最大值，

即將2百萬元用于技術改造， 1百萬元用于廣告促銷，該公司由此獲得的收益最大．