Question

【題目】已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線相切．

（1）求圓的方程；

（2）若直線與圓相交于A，B兩點，是否存在實數a，使得過點的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2） 存在實數，使得過點的直線l垂直平分弦AB，理由見解析.

【解析】

（1）由題意圓心在x軸，且圓心橫坐標是整數，設出圓心M的坐標，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到已知直線的距離d，根據直線與圓相切，得到d與半徑r相等，列出關于m的等式，求出等式的解即可得到m的值，確定出圓心坐標，由圓心坐標和半徑寫出圓的標準方程即可；

（2）假設符合條件的實數a存在，由a不為0，根據兩直線垂直時斜率的乘積為，由直線的斜率表示出直線l的斜率，再由P的坐標和表示出的斜率表示出直線l的方程，根據直線l垂直平分弦AB，得到圓心M必然在直線l上，所以把M的坐標代入直線l方程中，得到關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把求出的a的值代入確定出直線l的方程，經過檢驗發現直線與圓有兩個交點，故存在．

（1）設圓心為．

由于圓與直線相切，且半徑為5，

所以，即．

即或，

解得或，

因為m為整數，故，

故所求的圓的方程是；

（2）設符合條件的實數a存在，

，則直線l的斜率為，l的方程為，即．

由于l垂直平分弦AB，故圓心必在l上．

所以，解得．

檢驗：當時，直線的方程為，

圓心到直線的距離為，合乎題意.

故存在實數，使得過點的直線l垂直平分弦AB．