Question

如圖,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足為F,求證:AF⊥SC.

Answer 1

思路解析:本題所給的已知條件中,垂直關系較多,不容易確定如何在證明中使用它們,因而用綜合法比較困難.這時,可以從結論出發,逐步反推,尋求使當前命題成立的充分條件.在立體幾何中,通常可以把證明兩條直線互相垂直的問題轉化為證明直線與平面垂直的問題.

證明:要證AF⊥SC,只需證SC⊥平面AEF,只需證AE⊥SC(因為EF⊥SC),只需證AE⊥平面SBC,只需證AE⊥BC(因為AE⊥SB),只需證BC⊥平面SAB,只需證BC⊥SA(因為AB⊥BC).

由SA⊥平面ABC可知,上式成立.

所以AF⊥SC.

方法歸納  注意此處空半格在分析法證明中,從結論出發的每一個步驟所得到的判斷都是結論成立的充分條件,最后一步歸結到已被證明了的事實.因此,從最后一步可以倒推回去,直到結論,但這個倒推過程可以省略.