Question

（1）已知A（-1，2），B（2，8），

AC

=

1

3

AB

，

DA

=-

2

3

AB

，求

CD

的坐標．
（2）如圖，過△OAB的重心G的直線與邊OA、OB分別交于P、Q，設O

P

=h

OA

，O

Q

=k

OB

，求證：

1

h

+

1

k

是常數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由A、B的坐標算出

AB

=（3，6），從而算出

AC

、

DA

的坐標，得出

DC

=

DA

+

AC

=(-1，-2)，可得向量

CD

的坐標．
（2）由點G為△OAB的重心得

OG

=

2

3

OM

=

1

3

OA

+

1

3

OB

．設

PG

=λ

GQ

，變形整理得到

OG

=

1

1+λ

OP

+

λ

1+λ

OQ

，結合題意整理得

h

1+λ

OA

+

kλ

1+λ

k

OB

=

1

3

OA

+

1

3

OB

．根據(jù)平面向量基本定理建立關于λ、h和k的方程組，消去λ并化簡可得

1

h

+

1

k

=3．

解答：解：（1）∵A（-1，2），B（2，8），
∴

AB

=（3，6），可得

AC

=

1

3

AB

=（1，2），

DA

=-

2

3

AB

=（-2，-4），
∴

DC

=

DA

+

AC

=(-1，-2)，可得

CD

=-

DC

=（1，2）．
（2）證明：∵OM是△OAB的中線，G為重心，O、G、M三點共線，
∴

OM

=

1

2

OA

+

1

2

OB

，得

OG

=

2

3

OM

=

1

3

OA

+

1

3

OB

，
設

PG

=λ

GQ

，則

OG

-

OP

=λ(

OQ

-

OG

)，
化簡得

OG

=

1

1+λ

OP

+

λ

1+λ

OQ

，
因此

1

1+λ

OP

+

λ

1+λ

OQ

=

1

3

OA

+

1

3

OB

，
又∵

OP

=h

OA

，

OQ

=k

OB

，
∴

1

1+λ

（h

OA

）+

λ

1+λ

（k

OB

）=

1

3

OA

+

1

3

OB

．
∵向量

OA

、

OB

是不共線的向量，
∴由平面向量基本定理，得

h

1+λ

=

kλ

1+λ

=

1

3

，可得

1 3h = 1 1+λ 1 3k = λ 1+λ

，消去λ得

1

h

+

1

k

=3（常數(shù)）．

點評：本題考查了平面向量的坐標運算法則、三角形重心的性質和平面向量基本定理及其應用等知識，屬于中檔題．