Question

將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，有如下四個結論：
①AC⊥BD；②△ACD是等邊三角形；③AC與平面BCD成45°角；④AB與CD所成的角為60°．
其中命題正確的編號是

①②③④

．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析：作出此直二面角的圖象，由圖形中所給的位置關系對四個命題逐一判斷，即可得出正確結論．

解答：解：作出如圖的圖象，其中A-BD-C=90°，E是BD的中點，可以證明出∠AED=90°即為此直二面角的平面角
對于命題①，由于BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命題正確；
對于命題②，在等腰直角三角形AEC中可以解出AC等于正方形的邊長，故△ACD是等邊三角形，此命題正確；
對于命題③AB與平面BCD所成的線面角的平面角是∠ABE=45°，故AB與平面BCD成45°的角正確；
對于命題④可取AD中點F，AC的中點H，連接EF，EH，FH，由于EF，FH是中位線，可證得其長度為正方形邊長的一半，而EH是直角三角形的中線，其長度是AC的一半即正方形邊長的一半，故△EFH是等邊三角形，由此即可證得AB與CD所成的角為60°；
綜上知①②④是正確的
故答案為：①②③④．

點評：本題考查與二面角有關立體幾何中線線之間的角的求法，線面之間的角的求法，以及線線之間位置關系的證明方法．綜合性較強，對空間立體感要求較高．