Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，且過定點M（1， ）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l：y=kx﹣ （k∈R）與橢圓C交于A、B兩點，試問在y軸上是否存在定點P，使得以弦AB為直徑的圓恒過P點？若存在，求出P點的坐標和△PAB的面積的最大值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得 ，

∴橢圓C的方程為

（2）解：由 得：9（2k2+4）x2﹣12kx﹣43=0①

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1、x2是方程①的兩根，

∴ ，

設P（0，p），則 ，

=

假設在y軸上存在定點P，使得以弦AB為直徑的圓恒過P點，

則 ，即 ．

即（18p2﹣45）k2+36p2+24p﹣39=0對任意k∈R恒成立，

∴ ，

此方程組無解，

∴不存在定點滿足條件

【解析】（1）運用離心率公式和點M滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；（2）聯立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理，設P（0，p），求得向量PA，PB和數量積，再由直徑所對的圓周角為直角，結合向量垂直的條件，即可得到結論．