Question

橢圓C的中心在原點，并以雙曲線

y2

4

-

x2

2

=1的焦點為焦點，以拋物線x2=-6

6

y的準線到原點的距離為

a2

c

（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l：y=kx+2（k≠0）與橢圓C相交于A、B兩點，使A、B兩點關于直線l′：y=mx+1（m≠0）對稱，求k的值．

Answer 1

分析：（1）確定雙曲線的焦點坐標，拋物線的準線方程，利用條件，求出橢圓的幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）根據題設，可得m=-

1

k

，利用kAB•

y0

x0

=-

a2

b2

，結合弦AB的中點在直線上，即可求得k的值．

解答：解：（1）在雙曲線

y2

4

-

x2

2

=1中，a=2，b=

2

，c=

a2+b2

=

6

，
∴焦點為F1(0，-

6

)，F2(，

6

)．
在拋物線x2=-2

6

y中，p=

6

，∴準線為y=

6

2

．
∴在橢圓中，

a2

c

=

6

2

．從而a=3，b=

3

．
∴所求橢圓C的方程為

y2

9

+

x2

3

=1．
（2）設弦AB的中點為P（x₀，y₀），則點P是直線l與直線l′的交點，且直線l⊥l′，∴m=-

1

k

．
由kAB•

y0

x0

=-

a2

b2

得：k•

y0

x0

=-3，∴ky₀=-3x₀．…①
由y0=-

1

k

•x0+1得：ky₀=-x₀+k．…②
由①、②得：x0=-

k

2

，y0=

3

2

．
又∵y₀=kx₀+2，∴

3

2

=-k•

k

2

+2，即k²=1，∴k=±1．
在y=kx+2中，當x=0時，y=2，即直線l經過定點M（0，2）．
而定點M（0，2）在橢圓的內部，故直線l與橢圓一定相交于兩個不同的交點，
∴k的值為±1．

點評：本題考查橢圓的方程，考查雙曲線、拋物線的性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．