Question

設函數f（x）=ax²-x-2a，g（x）=ax+b，其中a，b∈Ra＞0．已知f（1）+g（1）+3=0．
（1）求b的值；
（2）設集合A={y|y=f（x），x∈[-2，0]}，B={y|y=g（x），x∈[-2，0]}且A∩B≠ϕ試求a的取值范圍
（3）是否存在實數a，使得對于任意的正數x，都有f（x）•g（x）≥0？若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數的零點,交集及其運算,函數單調性的性質

專題：計算題,函數的性質及應用,集合

分析：（1）代入求得f（1）=-a-1，g（1）=a+b；從而得到f（1）+g（1）+3=b-1+3=0；從而解得．
（2）化簡集合A={y|y=f（x），x∈[-2，0]}=[-2a，2a+2]，B={y|y=g（x），x∈[-2，0]}=[-2a-2．-2]；從而解得．
（3）設存在實數a，使得對于任意的正數x，都有f（x）•g（x）≥0；討論兩個函數的正負值即可．

解答： 解：（1）由題意，f（1）=-a-1，g（1）=a+b；
故f（1）+g（1）+3=b-1+3=0；
故b=-2；
（2）∵a＞0，函數f（x）=ax²-x-2a的圖象開口向上，
且對稱軸為x=

1

2a

＞0；
∴函數f（x）=ax²-x-2a在[-2，0]上單調遞減，
且f（-2）=2a+2，f（0）=-2a；
故集合A={y|y=f（x），x∈[-2，0]}=[-2a，2a+2]，
同理，B={y|y=g（x），x∈[-2，0]}=[-2a-2．-2]；
又∵A∩B≠ϕ，
∴-2a≤-2；
故a的取值范圍為[1，+∞）．
（3）設存在實數a，使得對于任意的正數x，都有f（x）•g（x）≥0；
當g（x）=ax-2=0時，x=

2

a

，當g（x）＞0時，x＞

2

a

；當g（x）＜0時，0＜x＜

2

a

；
∵函數f（x）=ax²-x-2a的圖象開口向上，且f（0）=-2a＜0；
∴函數f（x）=ax²-x-2a必有一正一負兩零點，不妨設x₁＜0＜x₂；
則易知只能有x₂=

2

a

；
即f（

2

a

）=0，解得，a=1；
當a=1時，f（x）g（x）=（x-2）²（x+1）≥0；
綜上所述，存在唯一實數a=1，使得對于任意的正數x，都有f（x）•g（x）≥0．

點評：本題主要基于對集合的運算、函數的基本性質和函數的零點等基礎知識的考查，綜合考查了抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力及應用意識和創新意識，考查了函數與方程思想、化歸與轉化思想、數形結合思想及分類與整合的思想．