Question

已知雙曲線C的中心在原點，F是C的一個焦點，以F為圓心且與C的漸近線相切的圓的方程是x²+y²-4x+3=0，則C的方程為（　　）

• A、

  x2

  3

  -y²=1
• B、

  y2

  3

  -x²=1
• C、x²-

  y2

  3

  =1
• D、y²-

  x2

  3

  =1

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出圓的標準方程，可得F，以及半徑r，設出雙曲線的方程，求得漸近線方程，再由直線和圓相切的條件：d=r，再由點到直線的距離公式，結合雙曲線的a，b，c的關系，即可解得a，b，進而得到雙曲線方程．

解答： 解：圓的方程x²+y²-4x+3=0即為（x-2）²+y²=1，
∴圓心F（2，0），半徑r=1，
則設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
則c=2，F到漸近線y=±

b

a

x的距離為1，
即有

|2b|

a2+b2

=1，即a=

3

b，
與c²=4=a²+b²聯立，解得a=

3

，b=1．
即有雙曲線的方程為

x2

3

-y²=1．
故選A．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，考查直線和圓相切的條件，考查運算能力，屬于基礎題．