Question

選修4--4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q都在曲線(xiàn)C：

x=2cosβ y=2sinβ

(β為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為β=α與β=2α（0＜α＜2π），M為PQ的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求M的軌跡的參數(shù)方程
（Ⅱ）將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為a的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意寫(xiě)出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而得出M的軌跡的參數(shù)方程；
（II）利用兩點(diǎn)間的距離公式得到M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d=

x2+y2

=

2+2cosα

，再驗(yàn)證當(dāng)α=π時(shí)，d=0，故M的軌跡過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．

解答：解：（I）根據(jù)題意有：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），
∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，故M（cosα+cos2α，sin2α+sinα），
∴求M的軌跡的參數(shù)方程為：

x=cosα+cos2α y=sinα+sin2α

（α為參數(shù)，0＜α＜2π）．
（II）M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d=

x2+y2

=

2+2cosα

（0＜α＜2π）．
當(dāng)α=π時(shí)，d=0，故M的軌跡過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題．